ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on
Odotusarvo on ja tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden muodostavat yhdessä . Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen eli .
4. Tarkastele pykälän tehtävän hajamielisen herran sateenvarjon unohtamisilmiötä. Määrää sen satunnaismuuttujan odotusarvo, joka ilmoittaa sen, kuinka monenteen kauppaan sateenvarjo on unohtunut. Piirrä myös tiheys- ja kertymäfunktioiden kuvaajat.
ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama kuin satunnaismuuttujalla.
Arpanopan silmäluvun (tiheysfunktio ) odotusarvo ja varianssi ovat
3. Arpajaisissa on myytävänä 300 kahden euron hintaista arpaa. Päävoittona on 100 euroa, toisena voittona 40 euroa ja kolmantena 20 euroa. Muita voittoja ei ole. Laske yhdellä arvalla saatavan voiton odotusarvo.
pätee kaikilla . Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja on , missä tarkoittaa satunnaismuuttujan virittämää sigma-algebraa.
On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla on , missä on reaaliluku.
1. Laatikosta, jossa on 6 valkoista ja 10 mustaa palloa, nostetaan umpimähkään 5 palloa. Määrää sen satunnaismuuttujan odotusarvo, joka ilmoittaa nostettujen valkoisten pallojen määrän. Tarvittavat todennäköisyydet ovat laskettavana pykälän tehtävässä . Piirrä myös tiheys- ja kertymäfunktioiden kuvaajat.
Jos ovat satunnaismuuttujia, sekä , niin odotusarvo
Yleisesti toistokokeeseen liittyvän binomijakauman odotusarvo on ja keskihajonta , kun on toistojen lukumäärä ja on tarkasteltavan tapahtuman onnistumistodennäköisyys. Todistus sivuutetaan tässä.
Tätä kutsutaan odotusarvon lineaarisuusominaisuudeksi.
Heitettäessä noppaa neljästi olkoon saatujen kuutosten lukumäärä. Tiheysfunktion arvot on taulukoitu esimerkissä . Odotusarvoksi saadaan siten
Laske odotusarvot , , ja . Ovatko ja riippumattomia?
Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa ()
Edelleen odotusarvon lineaarisuuden vuoksi
Ylikerroin terminä tarkoittaa vetoa, joka on odotusarvo on positiivinen eli yli yhden. Tällaisia vetoja, eli ylikertoimia, pelaamalla olet pitkässä juoksussa voitollinen pelaaja.
[PDF] Satunnaismuuttujan odotusarvo
Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli . Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos tai .
4.1 Odotusarvo, varianssi ja keskihajonta
Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. tarkoitetaan suppean keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon .
4.3 Useamman satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Satunnaismuuttujan jakaumaan liittyy pari sen reaaliakselille sijoittumista kuvaavaa tunnuslukua, nimittäin odotusarvo ja keskihajonta. Satunnaismuuttujan odotusarvo on sen todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo, ts.